Использование математики и статистики при разработке нормативов времени

Как правило, разрабатываемые нормативы зависят от определенных количественных факторов, поэтому в большинстве методических материалов для разработки практических нормативов предлагается строить функциональные зависимости или уравнения регрессии.

Каким образом на практике можно применить указанные положения, используя наиболее простые математические и статистические инструменты?

Наиболее доступной для практической реализации представляется методика построения однофакторных функциональных зависимостей линейного вида. Если перейти на язык формул, ее можно описать следующим образом:

y = ax + b,

где b – постоянный коэффициент, отражающий влияние всех прочих факторов;

a – коэффициент, отражающий влияние изучаемого фактора на результат;

х – переменная, оказывающая влияние на результат (объясняющая);

y – результирующая переменная.

Применительно к нормированию переменная y будет искомой нормой времени или выработки, а переменная x – количественным параметром, оказывающим на нее влияние.

Задачей исследователя при нормировании является нахождение неизвестных коэффициентов уравнения a и b. Для этого применяются следующие формулы:

Как видно, в формуле используются произведения средних задействованных в функции переменных.

Их вычисление не должно вызвать затруднений на практике. Рассмотрим методику расчета на основе практического примера.

Пример 3

Предположим, у нас есть результаты средней продолжительности резания заготовки после хронометража. Данные разбиты на 7 строк в зависимости от длины обрабатываемого изделия. Внизу в таблице подсчитаны итоги и выведены средние значения по формуле среднеарифметической простой.

Справа – вспомогательные графы, необходимые нам для вычисления коэффициентов уравнения, их названия отражают производимые вычисления.

Тогда, применив приведенные формулы, получим:

Таким образом, наше искомое уравнение примет вид:

Далее в правой колонке добавляем расчетные значения норматива Y_р, подставляя в уравнение значение длины заготовки. Для первой стр. 1 получим:

–0,54 + 0,022 × 50 = 0,56 мин.

Проделываем подобные вычисления для всех значений фактора Х «Длина заготовки».

Итак, все расчеты проведены.

Теперь нужно осуществить проверку.

Для того чтобы убедиться в статистической достоверности наших данных, посчитаем коэффициент парной корреляции. Его мы найдем по формуле

Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле

Ниже приведем расчет среднеквадратического отклонения для переменной y:

Аналогичным образом можно посчитать среднеквадратическое отклонение и по переменной х. После этого выводим коэффициент парной корреляции:

r_xy = 132,11 – 1,4 × 87,6 / 0,5 × 21,4 = 0,95.

Как анализировать коэффициент парной корреляции?

Чем ближе коэффициент к 1, тем теснее связь между переменными. Это значит, что влияние фактора длины заготовки на норму времени ярко выражено, а полученная функция достоверно отражает их взаимосвязь, т.е. формула пригодна для использования.

В нашем случае этот показатель очень высокий, т.е. связь достаточно явная и сильная.

Отметим также, что если коэффициент парной корреляции примет значение меньше единицы, то он будет колебаться в пределах от 0 до (–1). Это означает обратно пропорциональную связь, т.е. при увеличении влияющей переменной значение результирующей будет снижаться. В этом случае, чем ближе показатель будет к –1, тем сильнее обратно пропорциональная связь между изучаемыми переменными.

В дополнение можно посчитать коэффициент детерминации, просто возведя коэффициент корреляции в квадрат, получим: 0,95² = 0,91. Он также не должен быть больше единицы и характеризует долю квадратов отклонений y, объясняемых изменениями переменной x. Если перевести эту величину в проценты, то значение переменной y  на 91 % объясняется изменениями переменной x, и только 9 %, или 0,09 (если в долях), происходящих изменений переменной у объясняется влиянием прочих случайных величин. То есть качество полученной модели достаточно высокое.

Последним показателем, характеризующим качество модели, станет средняя ошибка аппроксимации:

n – общее количество значений ряда.

Для ее расчета в отдельной графе сначала считаем разность между фактическим значением y и расчетным значением Y_р. В графе «Средняя ошибка аппроксимации» делим полученные результаты на фактические значения y по каждой строке. Затем считаем итог и делим его на 7, получаем искомую цифру в 7,5 %. Это очень хороший показатель, снова подтверждающий качество нашей модели.

Используя полученную модель, можно расчетным путем получить норму для заготовки любой длины. Подобный метод может быть применен на практике для получения норм выработки и норм численности.